Curso de Física II: Campos vectoriales y la teoría electrostática




El electromagnetismo es una teoría basada en una serie de experimentos cuantitativos llevados a cabo durante muchos años, a partir del siglo XVIII. Estos experimentos fueron compilados en una teoría consistente de fenómenos eléctricos y magnéticos por James Clerk Maxwell en 1865. Hasta entonces, las interacciones eléctricas y magnéticas se consideraban dos fenómenos independientes. Las ecuaciones de Maxwell proporcionan la primera unificación de dos tipos de interacciones aparentemente diferentes.


Estas ecuaciones permiten modelar los campos eléctricos y magnéticos E y B como funciones de posición y tiempo, en términos de la densidad de carga Imagen y la densidad de corriente j que los produce. Las ecuaciones (1.1) constituyen la base de una teoría que describe de forma unificada fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos. Su validez se ha comprobado desde escalas atómicas hasta astronómicas. A nivel atómico, debe hacerse compatible con las leyes de la mecánica cuántica.


Imagen Ec. 1.1

 

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Estudiamos las propiedades del campo eléctrico. Sobre la base de los fundamentos de la teoría de la relatividad, comenzamos a discutir las propiedades esenciales de la carga eléctrica. Esta entidad física es el origen de todos los fenómenos electromagnéticos. A continuación, analizamos con cierto detalle las propiedades del campo electrostático y del potencial electrostático, discutiendo algunos ejemplos particulares e introduciendo la expansión multipolar. Introducimos el concepto de energía electrostática y presentamos un principio variacional vinculado a él. Además de su importancia intrínseca, este principio proporciona la base para los algoritmos de cálculo numérico. Finalmente, estudiamos una aplicación del concepto de energía electrostática al cálculo del llamado radio clásico del electrón. Este fue el primer intento histórico de formular una teoría de partículas elementales.


I) Ley de Gauss para el campo eléctrico: 


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La divergencia del campo eléctrico en cualquier lugar, es proporcional a la densidad de carga eléctrica en ese lugar Imagen. Esto se debe a que las líneas de campo electrostáticas comienzan en la carga positiva y terminan en la carga negativa (de aquí que las líneas de campo tienden a divergir de la ubicación positiva y convergen en la ubicación de carga negativa). El símbolo Imagen representa la permeabilidad eléctrica del espacio libre, una cantidad que tiene que ver con la impedancia de ondas electromagnéticas. 


II) Ley de Gauss para campos magnéticos:

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Dice que la divergencia del campo magnético en cualquier lugar debe ser igual a cero. Esto es cierto, porque aparentemente no hay una carga magnética aislada en el universo, por lo que las líneas de campo magnético no divergen ni convergen (circulan sobre sí mismas).


III) Ley de Faraday:

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Indica que el producto cruz vectorial sobre el campo eléctrico en cualquier ubicación, es igual al negativo de la tasa de tiempo del campo negativo en esa ubicación. Esto se debe a que, un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico.


IV) Ley de Amper-Maxwell:

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La ley de Amper modificada por Maxwell, dice que el producto cruz del campo magnético en cualquier ubicación es proporcional a la densidad de corriente eléctrica, más la tasa de tiempo de cambio del campo eléctrico en esa ubicación. Este es el caso por el que un flujo magnético de campo es producido tanto por una corriente eléctrica como por un campo eléctrico cambiante. El símbolo Imagen representa la permeabilidad magnética del espacio libre, cantidad que verá con la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas y la impedancia electromagnética.


Observe que las ecuaciones de Maxwell relacionan el comportamiento espacial de los campos con los orígenes de esos campos. Estas fuentes son densidades de carga eléctrica Imagen que aparecen en la ley de Ampere-Maxwell y el cambio del campo eléctrico. 


Tomadas individualmente a las ecuaciones de Maxwell proporcionan relaciones importantes entre las fuentes de campos eléctricos y magnéticos, y el comportamiento de esos campos. Pero el verdadero poder de estas ecuaciones se realiza en su combinación para producir la ecuación de onda electromagnética. 


Comencemos por producto cruz en ambos lados de la ley de Faraday:


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En el que la inserción de la expresión para el producto cruz del campo magnético Imagen de la ley de Amper-Maxwell hace que

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Finalmente, requerimos el uso de la identidad vectorial para el producto cruz de una función 


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Donde Imagenes el gradiente del divergente de Imagen y Imagen el Laplaciano de Imagen, aplicando esta identidad a la ecuación anterior:

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En el vacío la densidad de carga y la densidad de corriente son cero. 


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Y por tanto, la ecuación de onda para el campo eléctrico es:

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dado que se trata de una ecuación vectorial, en realidad se trata de tres ecuaciones separadas, una para cada componente del vector. En coordenadas cartesianas esas ecuaciones son:


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Podemos encontrar de forma equivalente para el campo magnético tomando del producto cruz de ambos lados de la ley de Amper-Maxwell, y luego insertando el producto cruz de la ley de Faraday. Esto da:

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Esta también es una ecuación vectorial:


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La ecuación general de propagación de onda comparándolas con las ondas electromagnéticas:


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La equiparación de los factores a los derivados del tiempo revela que la velocidad de fase de las ondas electromagnéticas es:


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Esta es la velocidad de la luz en el vacío, un resultado sorprendente que hizo que Maxwell concluyera que la luz es una perturbación electromagnética con límite cosmológico para su propagación en nuestro universo. Las ondas electromagnéticas deben satisfacer no solo la ecuación de onda, sino también las ecuaciones de Maxwell, dado que se generan en átomos con restricciones de cuantización para estas. 


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Se puede observar a Thomson el cuarto por la izquierda de la fila inferior, situado entre Wilhelm Wien y Emil Warburg. Congreso Solvay (1913)

 

 


Electrón

 








¬



⟨ ⟩




ρ σ
×



<

×
v











×




·





⌈ ⌉
⌊ ⌋













±
÷
×
·

Δ







×




·

Curso de Física II: Campos vectoriales y la teoría electrostática

ISBN 978-607-xxxx-x-x

Contenido

Unidad 1. El espacio vectorial

1.1. Magnitud escalar
1.2. Magnitud vectorial
1.3. El vector en R2
1.4. Producto interno/punto
1.5. El vector en R3
1.6. Producto cruz
1.7. Magnitud tensorial
1.8. Sistemas de coordenadas
1.8.1. Sistemas 2D
1.8.2. Sistema 3D
1.8.3. Sistemas de coordenadas de rotación en 2D
1.8.4. Sistemas de coordenadas de rotación en 3D
1.9. Transformaciones de coordenadas
1.9.1. Sistema de coordenadas rectangulares
1.9.2. Sistema de coordenadas cilíndricos
1.9.3. Sistema de coordenadas esférico
1.9.4 Matrices de transformación
1.10. Operador DEL o Nabla
1.11. Gradiente
1.12. Divergente
1.13. Rotor
1.14. Laplaciano


Unidad 2. Teoría electrostática

2.1. Fuerzas eléctricas y campos
2.2. Aislantes y conductores
2.2.1. Carga por conducción
2.2.1.1 Conexión a tierra
2.2.2. Carga por inducción
2.3. Ley de Coulomb
2.4. El Campo eléctrico
2.4.1. Líneas de campo eléctrico
2.4.2. ¿Qué sucede cuando tenemos dos cargas juntos?
2.5. Conductores en equilibrio electrostático
2.6. Jaula de Faraday
2.7 El generador de Van de Graaff
2.8. Ley de Gauss
2.8.1. Flujo eléctrico
2.8.2. Ley de Gauss como una Ley de Conservación
2.8.3. Ejemplo: El campo alrededor de una distribución esférica de carga 93
2.8.4. Ejemplo: El campo por encima de un conductor plano 95
2.8.5. Ejemplo: El campo interior y exterior de un conductor hueco esférico
2.8.6. Ejemplo: El campo debido a una línea de carga

Unidad 3. Energía eléctrica y capacitancia

3.1 Energía potencial eléctrica
3.2. Potencial eléctrico
3.2.1 Potencial eléctrico y energía potencial debida a cargas puntuales
3.2.2. Energía de un sistema de cargas
3.3. Potenciales y conductores cargados
3.4 Superficies equipotenciales
3.5. Fuentes de diferencia de potencial como circuitos elementales
3.6. El capacitor
3.6.1. Los condensadores de placas paralelas
3.6.2 La energía almacenada en los condensadores
3.6.4 Circuitos elementales de capacitores

 

Unidad 4. Ecuaciones de campo

4.1. La forma integral de la ley de Gauss
4.1.1. El componente de E normal a una superficie
4.1.2. La superficie integral
4.1.3. El flujo de un campo vectorial
4.1.4. El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada
4.1.4.1 La carga encerrada
4.1.5. La permeabilidad del espacio libre
4.1.5.1 Aplicaciones de la Ley de Gauss en su forma integral
4.2. La ley de Gauss en su forma diferencial
4.3. La ley de Gauss para un campo magnético
4.4. La ley de Faraday

Referencias

 

Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán
Mónica Rico Reyes