Curso: Álgebra lineal


En las matemáticas, la ciencia y la ingeniería a menudo se encuentra con un hecho relacionado con la “matriz”, es decir, identidad, desigualdad, transformación, solución de sistemas lineales, determinantes…, numerosos libros la agrupan bajo el título de álgebra líneal o teoría de matrices. Organizar teoría y técnica nos llevó a este cursos de licenciatura que intenta introducir a los estudiante en este fascinante mundo de arreglos de datos, dimensiones infinitas, técnicas de determinantes, Gaussianas, factorizaciones, transformaciones y aritmética de matrices.

Visto el contenido como una extension de las matemáticas escalares, las matemáticas de matriz proporcionan los medios para manipular y analizar cantidades vectoriales, tensoriales y escalares. Por lo tanto, la matemática de matrices proporcionan potentes herramientas para ampliar la gama de problemas en la Química, Física, Biología, Estadística, Economía y la amplia ingeniería: ambiental, computacional, electrónica, inteligencia artificial, bioinformática.

El análisis basado en matrices de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias explica concepto como variables de estado, la discretización de ecuaciones diferenciales parciales y elementos finitos que producen ecuaciones algebraicas o diferenciales lineales cuya estructura de la matriz, refleja la naturaleza de soluciones físicas. En la teoría de probabilidad multivariante y el análisis estadístico utilizan métodos matriciales para representar distribuciones de probabilidad, calcular momentos y realizar regresiones lineales para el análisis de datos. Además las matrices se utilizan ampliamente en el estudio de la dinámica de cuerpos rígidos, mecánica estructural, dinámica computacional de fluidos, teoría de circuitos-redes, teoría de juegos, visión computacional, optimización, control de calidad, procesamiento de señales, mecánicas de códigos, criptografía, análisis dimensional, mecánica estadística, teoría de la información, demografías, óptica, teoría de numeroso…


MAtriz

 








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Álgebra lineal

ISBN 978-607-xxxx-x-x

Contenido

Módulo 1. Fundamentos de la geometría

1.1 Antecedentes
1.2 Traslación
1.3 Simetría
1.3.1 Simetría con respecto a un centro
1.3.2 Simetría con respecto a un eje
1.4. Rotación
1.5 Homotecia
1.6 Inversión
1.7 Definición en el espacio geométrico
1.7.1 Postulados
1.7.2 Propiedades del segmento de recta
1.8 Geometría euclidiana
1.9 Elementos imaginarios
1.9.1 El plano complejo
1.9.2 Potencias de complejos
1.9.3 Álgebra compleja
1.10 La geometría y sus fundamentos
1.10.1 La geometría euclidiana y otras geométricas
1.10.2 Un sistema algebraico
1.10.3 Álgebra línea
1.10.4 Análisis del espacio geométrico
1.10.5 Transformación geométrica
1.10.6 El espacio en la geometría homogéneo
1.10.6.1 Espacio métrico real
1.10.6.2 Isometrías

Módulo 2: Conceptos vectores y matrices

2.1 Vetores y matrices
2.2 Subvectores y submatrices
2.3 Representación de datos
2.4 Operaciones con vectores
2.4.1 Combinaciones lineales e independencia lineal
2.4.2 Espacio vectorial y espacio de vectores
2.4.2.1 Conjuntos generadores
2.4.2.2 El orden y la dimensión de un espacio vectorial
2.4.2.3 Espacios vectoriales con un número infinito de dimensiones
2.4.2.4 Espacios de vectores esencialmente disjuntos
2.4.2.5 Algunos vectores especiales: notación
2.4.2.6 Relaciones ordinales entre vectores
2.4.2.7 Subespacio
2.4.2.8 Intersecciones de espacios vectoriales
2.4.2.9 Uniones y sumas directas de espacios vectoriales
2.4.2.10 Descomposición de suma directa de un espacio vectorial
2.4.2.11 Productos directos de espacios vectoriales y reducción de dimensiones
2.4.3 Conjuntos básicos para espacios vectoriales
2.4.3.1 Propiedades de conjuntos básicos de subespacios vectoriales
2.5 Productos internos
2.5.1 Notación de Dirac
2.6 Normas
2.6.1 Vectores normalizados (vectores unitarios)
2.6.2 "Inverso" de un vector
2.6.3 Métricas y distancias
2.6.4 Métricas inducidas por normas
2.6.5 Convergencia de secuencias de vectores
2.7 Vectores ortogonales y espacios de vectores ortogonales
2.8 El "vector uno”
2.9 Propiedades de los vectores coordenadas cartesianas y geométricas
2.9.1 Geometría cartesiana
2.9.2 Proyecciones
2.9.3 Ángulos entre vectores
2.9.4 Conjuntos de bases ortonormales
2.9.5 Productos cruzados en R3

Módulo 3. Teoria de matrices

3.1 Definiciones básicas y notación
3.1.1 Multiplicación de una matriz por un escalar
3.1.2 Elementos diagonales
3.1.3 Matrices diagonales y huecas
3.1.4 Matrices con patrones especiales de ceros
3.1.5 Operadores de conformación de matrices
3.1.6 Matrices particionadas
3.1.7 Adición de matrices
3.1.8 Operadores con valores escalares en matrices cuadradas
3.1.8.1 La traza: tr (·)
3.1.9 El determinante
3.1.9.1 Calcular el determinante
3.1.9.2 Matriz inversa por la matriz adjunta
3.2 Multiplicación de matrices y multiplicación de vectores y matrices
3.2.1 Multiplicación de matrices (Cayley)
3.2.2 Operaciones elementales en matrices

Módulo 4: Matrices de transformación y factorización

4.1 Factorizaciones
4.2 Transformaciones geométricas lineales
4.2.1 Propiedades de invariancia de transformaciones lineales
4.3 Transformaciones por matrices ortogonales
4.3.3 Rotaciones
4.3.4 Reflexiones
4.3.5 Traslaciones: coordenadas homogéneas
4.4 Transformación Householder (reflexiones)
4.4.1 Poner a cero todos los elementos menos uno en un vector
4.5 Proceso de ortonormalización de  Gram - Schmidt
4.6 Transformaciones de Givens (rotaciones)
4.7 Poner a cero un elemento en un vector
4.8 Rotaciones dadas que conservan la simetría
4.8.1 Da rotaciones para transformar a otros valores
4.8.2 Rotaciones rápidas Givens
4.9 Factorización de matrices
4.9.1 Factorizaciones LU y LDU
4.9.2 Propiedades: existencia y unicidad
4.9.3 Factorización QR

Módulo 5. Soluciones a sistemas lineales

5.1 Condición de las matrices
5.1.1 Número de condición
5.2 Eigenvalores y Eigenvectores, propiedades básicas
5.3 Método de Cramer

Referencias

 

Autores:

Eduardo Ochoa Hernández
Nicolás Zamudio Hernández
Lizbeth Guadalupe Villalon Magallan
Pedro Gallegos Facio
Gerardo Sánchez Fernández
Rogelio Ochoa Barragán
Mónica Rico Reyes