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2. El orden depende de muchas variable  

 


Aquellos que se saben exploradores de lo profundo se esfuerzan por la claridad. Aquellos que quisieran parecer profundos se esfuerzan por la oscuridad.

Nietzsche. The Gay Science.


A menudo se encuentran los estudiantes con la necesidad de realizar experimentos mentales, estos se encuentran en la raíz de los avances realmente importantes de la física moderna, en sus revoluciones matemáticas. Tales experimentos de pensamiento generalmente sondean alguna suposición funcional, con respecto al espacio, el tiempo, la luz, la fuerza, la causalidad, el determinismo, la materia, la gravedad…, este tipo de enfoque al pensamiento en el sentido del análisis de redes de conceptos y objetos matemáticos, es una parte fundamental del entrenamiento del estilo científico del pensar. Uno no puede hacer física sin hacer ciertas suposiciones, por mínimas que sean, sobre cómo las teorías que uno está usando como mapa sobre la realidad observable, abordan las justificaciones y los hechos.


Uno necesita tomar una postura sobre lo que los componentes de las teorías refieren, la distinción de un pensamiento sofisticado de lo que objetivamente existe en la realidad. Casi nunca es un asunto trivial; especialmente porque las teorías físicas a menudo hacen uso de todo tipo de idealizaciones, aproximaciones y métodos indirectos para representar un sistema objetivo. El trabajo de la física, es decir algo sobre la estructura de la realidad, sobre lo que es el universo, qué objetos existen, qué propiedades tienen, cómo se comportan, cómo se relacionan unos con otros, y así sucesivamente. 


La interpretación de la realidad está estrechamente vinculada a la ontología: interpretación que proporciona una justificación para lo que existe y sus propiedades dentro de la función de criterios de lo verdadero. El intérprete responderá en el sentido de satisfacción de los postulados teóricos básicos (leyes o axiomas). Lo que interpretamos, es entonces un conjunto de mundos posibles que hacen que la teoría sea verdadera; o, un conjunto de mundos posibles que guardan coherencia con los datos y predicciones. 


Hay, entonces, dos partes de una interpretación: una parte sintáctica en la que se disponen las estructuras formales de la información y los axiomas centrales (lógica epistemológica) y, una parte semántica, que proporciona a las estructuras formales del significado (lógica doxástica), es decir, los mundos posibles a partir de un modelo sintáctico. La multiplicidad de interpretaciones es una bendición en el contexto de la poesía. Pero en el caso de una información matemática para una teoría que admite múltiples interpretaciones (diferentes formas de llenar su semántica), nos enfrentamos a un problema, si vemos nuestras teorías como algo que nos dice cómo es el mundo, esto sería algo incompatible. Una interpretación podría ser local, de modo que no haya acción a distancia, mientras que otra interpretación (de la misma teoría) podría ser no local, dirigida al universo entero. Una podría ser determinista y otra indeterminada, y así sucesivamente. No todas las teorías pueden ser vistas como conectadas a tierra en nuestro mundo, ya que hay contradicciones involucradas dentro de las capas subyacentes de la realidad. Así que, aquí tenemos una sorprendente desanalogía con el caso poético. Podríamos preferir una teoría sobre otra, pero no nos vemos obligados a creer en una única verdad; como vemos, una teoría tiene como objetivo proporcionar una imagen de la realidad dentro de un espacio de significado.


Hay un nivel adicional al juego de interpretación que aún no hemos mencionado. Esto es que el formalismo interpretado también puede ser objeto de una interpretación adicional (y una mayor multiplicidad de sentidos). El formalismo es una creencia bajo una base axiomática que resulta sin contradicción lógica, pero que es independiente de lo que existe en la realidad. En otras palabras, consideremos que nuestro objeto de estudio debe interpretarse no en un formalismo desnudo, sino como una estructura ya interpretada que debe estar probada con lo observable en el universo. Por ejemplo, podríamos estar estudiando la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica, cada uno con un juego de ecuaciones fundamentales coherentes y sin compatibilidad con otro mundo. Podemos decir, que este formalismo interpretado es contestar cómo puede ser el mundo para que esto sea verdad. Una vez más, podría haber una multiplicidad en este nivel superior de mundos posibles, donde proporcionar una semántica al formalismo básico, no es suficiente para fijar una imagen del mundo en todos sus detalles.


Los muchos mundos posibles son vistos como universos separados que literalmente se ramifican unos con otros, como algo cuántico más, que implica otro juego de leyes subyacentes al mundo. Del mismo modo, la relatividad general (la teoría de la gravitación de Einstein) donde entendemos es una teoría de la geometría espacio-tiempo, en esta surge de nuevo la pregunta, dado este formalismo interpretado en términos de curvaturas espacio-tiempo, ¿Cómo es el mundo? ¿Hay una geometría literal espacio-tiempo en el mundo, tan sustancial como gatos y libros? ¿O de alguna manera se construye a partir de gatos y libros, y otras cosas de masa-energía. ¿Cuánto de la imagen de la geometría espacio-tiempo, suponemos que se asigna al mundo o, solo la geométrica o los puntos sin extensión subyacente a esta estructura?


A veces simplemente la juventud en nuestra universidad se instala en la teoría del formalismo interpretado, en lugar de una interpretación dentro de estructuras matemáticas generadoras de espacios de significado subyacente; es decir, se aprenden conceptos y no sus procesos de justifican, explicación y demostración. Para la mayoría de las personas (incluidos los físicos), la relatividad general es solo una teoría sobre la curvatura, dada por la geometría espacio-tiempo y la forma en que la curvatura depende de los pesos de la materia-energía en el espacio-tiempo. Pero este es solo un enfoque posible. Una imagen plana de espacio-tiempo con gravedad mediada por una partícula de intercambio (el gravitón), también puede llamarse con razón relatividad general. Aquí, el tensor métrico dinámico variable (que representa la geometría del espacio-tiempo en la imagen ortodoxa) se trata de solo otro campo en el espacio-tiempo plano, hay detalles técnicos involucrados en la recuperación de las mismas predicciones y propiedades de simetría, pero no tenemos por qué preocuparnos por esto. El punto es que, podemos tratar la teoría como un espacio curvo o un espacio plano; que tendemos a trabajar con un enfoque que no hace nada para restar al hecho de que la imagen del espacio curvo es también una interpretación tipo. 


Entonces, ¿Por qué funciona la física? Uno de los hechos más desconcertantes sobre la física es que funciona muy bien. ¿Cómo las teorías realizan esta increíble hazaña? Tranquilos, se podría decir, que funciona porque son verdaderas. Pero dado el tema de la multiplicidad en las interpretaciones de una teoría ¿Qué imagen es verdadera? A menudo se tienen ontologías muy diferentes, una con campos y otra con partículas en su lugar. Lo que nos preocupa aquí es por qué las matemáticas son capaces de predecir y describir eventos físicos. ¿Por qué no funcionan las bolas de cristal? Al menos en un universo de entidades que no necesitan un observador para existir. 


Este problema fue planteado por Eugene Wigner en 1960, en su artículo “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”. La enorme utilidad de las matemáticas en la ciencia es algo que bordea lo misterioso, eso que no explica la razón para ello. Hay ramas de las matemáticas que nos permiten predecir el comportamiento de cometas, misiles, drones, tráfico de internet y la economía. ¿Por qué las estructuras matemáticas encuentran una aplicación tan fructífera en la física? 


Hay dos tipos de explicación que podemos pensar aquí, una más irrazonable que otra: 1) un tipo dependiente de la física, y 2) otra independiente de la física. Por ejemplo, hay casos en los que las matemáticas se han desarrollado de la mano con algunas piezas de física, el cálculo fue construido con un problema físico en mente a saber, fue construido para resolver ecuaciones de movimiento en la evolución de un sistema. La creación de John von Neumann del espacio Hilbert (en el que están representados los estados cuánticos) también fue de este tipo: otro caso para encontrar herramientas matemáticas apropiadas para el trabajo. La eficiencia de las matemáticas claramente no es tan irrazonable en estos casos: es un criterio de búsqueda exitosa de herramientas eficaces. A lo largo de la historia muchas herramientas matemáticas que no eran para el propósito, que fueron descartadas. 


El tipo irrazonable es que las aplicaciones de las matemáticas en la ciencia fueron creadas independientemente de la física y sin embargo, más tarde se encontró su aplicación en la física. Por lo tanto, los matemáticos se ocuparon con algún problema puramente matemático, no se preocuparon una pizca por el mundo de la física, y sin embargo, lo que aquí se encuentra, es que el ajuste perfecto de piezas matemáticas al mundo físico es asombroso. Por ejemplo, los números complejos encuentran un hogar perfecto en la mecánica cuántica. Se encontraron geometrías no euclidianas para proporcionar el marco perfecto para la relatividad general. Los llamados “spinors” de Henri Cartan, en 1913, se encuentran encajados perfectamente en el espín intrínseco de los electrones descubiertos en 1926, y que fueron fundamentales para las predicciones teóricas de antimateria de Paul Dirac, quien combinó los “spinors” con la matemática de la mecánica cuántica. ¿Cómo puede ser esto?


Hay varias respuestas que uno podría dar. Una posible es que incluso las matemáticas más puras provienen de investigaciones del mundo en algún nivel. Es decir, incluso el punto de vista más idealista de las matemáticas como una creación pura de la mente humana, esta debe conciliarse con el hecho de que la elección de definiciones y axiomas de la geometría es el resultado de impresiones, obtenidas a través de nuestros sentidos por estímulos externos e inherentemente en estas observaciones experimentamos del “mundo exterior a la mente”. 


Esto no explica realmente cómo las matemáticas pueden extender la física para ir más allá de lo que podemos obtener a través de los sentidos: nuestros sentidos a menudo están equivocados, y ciertamente no podemos ponernos directamente en contacto con átomos y quarks. 


Mejor, uno podría desinflar el rompecabezas mostrando cómo no es más milagroso que encontrar, por ejemplo, un mueble que encaja en algún espacio en una habitación, a pesar de que el fabricante no tenía idea de nuestra habitación. No queremos sugerir que la física matemática está a la par con el diseño de interiores, por supuesto, pero en términos del principio básico detrás del despliegue de las matemáticas en la física, creemos que hay paralelismo aquí. Pero hay un aspecto crucial que no se trata: el mobiliario encaja porque el espacio tiene una estructura con las dimensiones adecuadas. Es una coincidencia que sus estructuras se basen en el ajuste. 


Podríamos adoptar la opinión de que dado que la matemática es una ciencia de patrones y estructuras de información y el mundo está organizado en patrones y estructuras, no hay misterio sobre su relación, simplemente la realidad es producto del Big Bang matemático. Naturalmente, algunas estructuras coinciden y otras son sintéticas, entonces la eficacia razonable es encontrar solo las equivalentes a estructuras isomórficas o razonablemente que creen nuevos elementos a la realidad, estamos hablando de anticuerpos, música, pigmentos, fármacos, elementos químicos…, todos ellos sintéticos. ¿Por qué debería importar que encontremos primero las estructuras sintéticas justo antes que las físicas? Un problema en este punto de vista es que a veces las matemáticas son efectivas sin que nosotros queramos decir que hay cierto isomorfismo estructural entre matemática y mundo. También hay todo tipo de idealizaciones en la física, en las que el modelo matemático y el mundo no se pueden ver que correspondan en términos de estructuras reales.


Es buena idea a tener en cuenta, es que estamos tratando con representaciones científicas en forma de estructuras matemáticas. Es imitar o capturar lo que del sistema nos interesa. ¿Nosotros podemos visualizar lo que está pasando en este tipo de modelado? Primero despreciamos detalles, luego nos ocupamos del sistema modelando una estructura matemática para este, y después desarrollamos una teoría de su comportamiento. La pregunta es, qué representación teórica se describe emparejados al mundo. A menudo es asombroso que estos modelos predicen el sistema de interés. 


Un estado del sistema clásico, cuántico, estadístico o relativista. Los estados de un sistema nos referimos, a propiedades o valores completos que un sistema puede adoptar en un instante dado, por ejemplo, bajo acciones de fuerza. Estos estados están en la base misma de los observables. Un pilar de la física es el espacio-tiempo, como parte de la mayoría de las representaciones empleadas en la física. Si se suponen que modelan el mundo, entonces deben contener el espacio y el tiempo porque así es como el mundo parece estar configurado, al menos en algún nivel de aproximación en la física clásica, relativista, pero, no en la gravedad cuántica, que sugiere que el espacio-tiempo no es una característica fundamental de la realidad, por lo que el espacio-tiempo emerge de alguna teoría no espacio-temporal más profunda.


Las teorías de espacio-tiempo tienden a coincidir con respecto a su estructura básica (más profunda), un conjunto de puntos tomados para representar los eventos básicos de la realidad (o lugares donde los eventos, como partículas de puntos de colisión, pueden tener lugar). Sin embargo, algunos han argumentado que independientemente de la estructura adicional, tales puntos no pueden representar cosas físicas reales. Las teorías distintas entonces, divergen de acuerdo con qué estructura adicional se aplica a esta base, dependiendo de lo que deseen que la teoría represente. Sobre este conjunto de puntos podemos poner gráficos o coordenadas, etiquetándolos y permitiéndonos hablar de las relaciones de puntos entre sí, este conjunto de puntos tiene la estructura a saber, algo que se ve localmente (a distancias cortas), como en el espacio plano ordinario, pero puede variar de todas las maneras globalmente. Podemos mapear estos puntos y regiones a través de transformaciones para representar todo tipo de cambios posibles: movimientos espaciales, rotaciones, evaluaciones de sistemas estáticos del tiempo o el espacio recorrido…, que pueden ocurrir en el universo así modelados. Lo que es más importante, es que podemos ver, lo que permanece en el mismo estado invariable, como ciertos cambios constantes. Tales invariancias son el material de las leyes de la naturaleza.


Las estructuras matemáticas, capaces de habitar en variedad (o un espacio más complejamente estructurado, con una métrica que permite hablar de distancias) se eligen con cuidado para que coincidan con las características de las propiedades y comportamientos de los objetos que se describen. Necesitamos establecer una coincidencia (un isomorfismo) entre la forma en que los objetos matemáticos elegidos se transforman y la forma en que creemos que los sistemas representan la transformación. Por ejemplo, las cosas físicas (sistemas) de una teoría (partículas, campos, cuerdas) se definen en esta estructura multivariable y están representados por objetos geométricos (escalares, vectores, tensores, spiners). Estos corresponden a los objetos que considerarían espacio y tiempo “ocupado”. Los objetos se caracterizan por su comportamiento en las asignaciones de multivariedad, como los cambios de las coordenadas (correspondientes al movimiento o rotación), como se mencionó, tales objetos se definen en relación con un multivariante espacio-tiempo que trae consigo todo tipo de herramientas matemáticas y conceptos de cálculo, haciendo posible la empresa de la física moderna.


Una partícula puntual ocupará un único punto multivariante (espacio-tiempo), campos infinitos de puntos, con un valor de campo situado en cada punto multivariante. Un multivariante unidimensional de puntos espacio-tiempo nos da un conjunto de elementos para cada construcción del mundo: un conjunto de objetos localizados en el espacio y el tiempo que podrían ser relacionados de varias maneras y que podrían tener varias trayectorias posibles a través del espacio. Tenga en cuenta que, no tenemos que tener nuestros objetos básicos exactamente equivalentes a lo que deseamos modelar: siempre habrá aproximaciones dependiendo de la tarea. Por ejemplo, perfectamente es posible tratar la Tierra como un punto en algún modelo, si todo lo que tenemos que pensar es en su posición, masa, desplazamiento. 


Aún así, falta mucho en términos de representar un mundo como el nuestro: necesitamos saber más sobre qué propiedades tienen los objetos básicos, cómo se combinan e interactúan, y cómo cambian y se mueven. Estos requieren especificar los estados y observables (cinemática), y su evolución a lo largo del tiempo (dinámica). Esto nos proporcionará una representación formal de un sistema físico (su estructura lógica) o incluso un universo junto como tal.


Hay otras trampas a la espera del genio maligno de Descartes, generadas por la representación matemática, pero sin los elementos correspondientes en la realidad. La versión moderna del antiguo debate presocrático sobre la realidad del espacio y el tiempo (en su relación con la materia). Podemos preguntarnos cómo las simetrías del espacio y el tiempo actúan sobre situaciones físicas, y si los nuevos estados que generan son físicamente reales en este sentido. Podemos cuestionarnos también, si los puntos de espacio-tiempo son reales (a pesar de la apariencia, o que se consideran puntos de multivariedad en el modelo matemático). Es claro que los modelos matemáticos de la física no llevan sus interpretaciones consigo. 


Considere K estados observables y la dinámica L. Este triplete agrupa esencialmente la cinemática (estados + observables: relacionados con el espacio, el tiempo y el movimiento) y la dinámica (las fuerzas físicas y las interacciones que limitan los movimientos cinemáticamente posibles), viendo una teoría como la combinación de estos, haciendo así la vida de un intérprete más fácil, al darnos los sistemas y sus propiedades junto con la regla (dinámica) de cómo cambian y varían con el tiempo y el espacio.


El espacio, el tiempo y el movimiento son los elementos centrales en la cinemática de una teoría física. Por lo general, este básico debe decidirse primero y luego se introducirán las leyes (dinámicas) para restringir qué movimientos son realmente posibles en relación con tal fondo. La división en cinemática y dinámica nos llega de Aristóteles, quien veía al kinesis como una especie de estado del ser potencial, mientras que la dinámica era el estado del ser real. Los historiadores han sufrido en sus cerebros durante esta distinción de Aristóteles durante muchos siglos, pero traducido en nuestros términos modernos, podemos ver que la cinemática se refiere a posibles movimientos cuando ignoramos la acción de cualquier fuerza y ley de la naturaleza en el espacio temporal antecedente; mientras que la dinámica se refiere a qué movimientos pueden ser reales una vez que se introducen las leyes del movimiento de Newton. Clásicamente se entiende que la mecánica es una combinación bastante sencilla de estos dos componentes: cinemática + dinámica. Todas las características de un mundo se entienden para fluir a partir de una especificación de ambos elementos. 


Las trayectorias cinemáticas posibles incluirán, por supuesto, las trayectorias dinámicas posibles: el antiguo espacio de posibilidades es mucho mayor que el segundo. La distinción moderna se puede vincular estrechamente a la de Aristóteles centrándose en lo que es posible en los dos escenarios: la cinemática, es sobre qué movimientos son posibles dadas las limitaciones del espacio-tiempo, en sí, junto con los navegantes de los objetos básicos (un mundo en tres dimensiones espaciales, movimientos en más dimensiones estará restringido). Podemos pensar en ellos como mundos metafísicamente posibles, pero no necesariamente mundos físicamente posibles: mundos que son concebibles, pero tal vez, no son compatibles con nuestras leyes. Podemos pensar en la introducción de la dinámica como una demanda de explicación sobre por qué las cosas cambian sus movimientos o se detienen. Por lo tanto, tenemos la concepción estándar de la cinemática como el estudio de los movimientos de los cuerpos en ausencia de fuerzas, y la dinámica como el estudio de los efectos de las fuerzas en esos movimientos.


Aunque utilizamos matemáticas en esta representación de trayectoria (movimientos), especialmente utilizamos nociones de geometría, hay una desconexión radical con cómo los conceptos aplicados a la física que se relacionan con los conceptos puros matemáticos. Por ejemplo, un movimiento en el sentido geométrico, simplemente implica asociar un punto a otro punto sin trayectoria continua que los una (al menos, no es necesario: se podría imaginar al punto que se lleva a cabo su análisis, en un camino continuo, pero no es esencial). En el caso de los movimientos físicos, sin embargo, los caminos suaves entre los puntos iniciales y finales son cruciales (las funciones f(x,y,z) ) y forman parte de nuestra imagen de cómo funciona el mundo. Pero más profundo que esto (aunque no innegable) es la creencia de que para llegar de un punto A a un punto B, los puntos intermediarios deben ser atravesados, durante los cuales, el objeto que se mueve conserva su identidad en cierto sentido, paso a paso por el espacio y el tiempo:


Como lo presentó Kurt Lewin, la genidentidad es una relación existencial que subyace en la génesis de un objeto de un momento a otro. Lo que generalmente consideramos un objeto en realidad consiste en múltiples entidades, que son las fases del objeto en varios momentos. Dos objetos no son idénticos porque tienen las mismas propiedades en común, sino porque uno se ha desarrollado a partir del otro durante el cambio de fase.

 

En los enfoques modernos de la física, de hecho, cambiamos a una representación más abstracta: hablamos de estados y observables en lugar de la cinemática (con su espacio, tiempo y movimiento asociado). Pero no prescindimos completamente del espacio y el movimiento; en forma de un espacio estado y trayectoria en ese espacio. Así como podríamos construir un espacio a partir de todas las combinaciones posibles de algunos parámetros, como las mediciones x,y,z para el espacio ordinario, también podemos ver las llamadas variables canónicas como coordenadas generalizadas para este tipo de espacio (conocido como espacio de fase: el espacio estado de la mecánica clásica). Cada punto representa una asignación diferente de posiciones e impulsos en un sistema. Esto nos permite hacer cosas que no podemos hacer en el espacio físico ordinario. Por ejemplo, cuando estamos tratando con un sistema complejo de muchas partículas (con un gran número de partículas N), sería una tarea complicada tratar individualmente con cada uno de los caminos a través del espacio tridimensional. Pero con los espacios de estado podemos agrupar toda la información de 6N dimensiones, en el que un solo punto representa las posiciones (una configuración) y momento de todas las partículas N (teniendo en cuenta las tres coordenadas espaciales de cada partícula en espacio ordinario y su momento en tres direcciones espaciales) tomadas en un instante de tiempo. 


Vamos a completar algunos detalles que faltan del concepto anterior. El estado de un sistema, como su nombre indica, es una foto instantánea de un sistema, que contiene información completa sobre este en un instante de tiempo, el propio sistema se entiende que está bien representado por este estado, que se construye esencialmente a partir de sus propiedades. En la mecánica clásica, este estado es simplemente la posición q (en el espacio físico) de una partícula junto con un impulso p (las variables canónicas). La idea, es que a partir de tal especificación de un estado, podemos ejecutarlo a través de las leyes de la teoría para llegar al estado del sistema en cualquier otro momento (la dinámica en ese nuevo esquema). El estado es, en este sentido, la entrada (al programa computacional) para las leyes, y el procesador, un cierto conjunto de ecuaciones de movimiento conocidas como ecuaciones Hamilton (básicamente, las leyes de movimiento de Newton reescritas en matemáticas de tensores). En este punto se separan físicamente, posibles evoluciones marginando las imposibles. 


La física en su punto más general se refiere a las cantidades físicas (en lenguaje ordinario las llamaríamos propiedades), las interacciones entre cantidades del mismo y diferente tipo, y la tasa de cambio de tales cantidades. Una vez que tengamos nuestro conjunto de cantidades, las etiquetamos, es decir, son los observables: las cosas que podemos medir, que definirán el estado instantáneo del objeto que nos interesa (y, en cierto sentido, es cómo se define un objeto en la física). Podemos pensarlo en cómo estas cantidades interactúan en simetrías, así el estado y el objeto podrían cambiar en el tiempo. Podemos configurar ecuaciones de movimiento de la forma general:


Rango de cambio A= función de A


Encontrar cómo evolucionará un sistema, entonces, es simplemente, equivale a encontrarle una función particular que nos indique cada fase de estado, que resulta de las investigaciones de los físicos y sus modelos matemáticos. Integrando o diferenciando ambos lados de la ecuación, podemos encontrar valores futuros y pasados de su valor actual. 


La posición y el impulso son observables del sistema y específicos a cada fase, encontrar todos los valores de los observables de un sistema determinará de manera única su estado, de la misma manera, conocer el estado significa conocer los valores de los observables. Medimos observables para obtener conocimiento sobre el estado. Por lo tanto, tenemos una correlación perfecta entre los estados y el conjunto completo de observables en un instante L ( q(t), p(t) ), son completos en la mecánica clásica en el sentido de que todos los demás observables se pueden construir a partir de ellos, utilizando algunas operaciones matemáticas (donde q(t) posiciones en el tiempo, y p(t) es la cantidad de movimiento en el tiempo). Estos observables proporcionan el vínculo central entre la teoría y el mundo en el contexto de la física: son cosas que medimos y cuyos valores predecimos. Como tal, ponen el carácter cualitativo de un mundo. Los observables en la mecánica clásica tienen un doble papel: por un lado, son cantidades medibles, lo que nos permite aferrar la teoría al mundo, proporcionando información específica del estado de un sistema de uno a otro: la energía observable (función hamiltoniana), cuando se ve el término de espacio de fase, genera traducciones de tiempo. 


Los observables en el sistema clásico son funciones desde el espacio de fase a números (reales): este es el vínculo entre la representación abstracta, dada por el espacio de estado y la realidad, como se da en las mediciones que se pueden asociar con el valor del número real. Un ejemplo clásico es una moneda. Este sistema de dos estados: Cara=1 y sol=0). Un observable tendría que ser una función en este espacio, de modo que arroje algún valor numérico dependiendo del estado en el que se alimenta. Ahora hemos hecho esta asociación, si queremos ser formales podemos escribir el espacio de estado como S=1,0. En la física se producen muchos más complicados ejemplos, como los observables de energía que arrojan un número que representa la energía total de un sistema (que puede ofrecer un continuo de valores posibles en lugar de 0,1). Pero aún así, esta sencilla configuración obtiene el punto básico: los observables clásicos son funciones desde el espacio de estado hasta los números  reales.


Naturalmente, el espacio estado del sistema dependerá del tipo de sistema que sea. Los sistemas mecánicos cuánticos son tan radicalmente diferentes, porque los estados tienen probabilidades asignadas a ellos. Los observables de posición e impulso tienen valores numéricos reales en el contexto clásico, se les llama operadores (matrices hermitian). Sin embargo, los valores propios del operador clásico (que representan los resultados de medición), tienen valores numéricos reales y estos son los que medimos en los experimentos. Estos operadores, al igual que con los observables clásicos, también sirven para crear nuevos estados a partir de los antiguos para su acción. 


Gran parte de esta diferencia clásica cuántica, tiene que ver con el hecho de que las partículas cuánticas tienen aspectos de onda y partícula. Por esta razón, el estado de un sistema cuántico, está representado por una función de onda Imagen. Que representa la amplitud del aspecto de onda del sistema en la ubicación x (dada por tres coordenadas espaciales) en el tiempo t. Esta función de onda, debe ser un número complejo para representar los efectos de interferencia, generalmente asociados con los fenómenos de onda, y por lo tanto, no es en sí misma una cantidad observable. Pero se puede construir una cantidad de valor real que es observable tomando su módulo cuadrado (la densidad de onda): 

Imagen

Este es el cuadrado complejo que implica la multiplicación del número complejo por su complejo conjugado: 

Imagen

Si desea estimar la probabilidad de encontrar una partícula en alguna ubicación particular x en el momento t:  


Imagen 

es este, el módulo cuadrado que necesita invocar. Si hacemos la identificación:

Imagen

Entonces, si todos los resultados posibles para la ubicación se integran juntos, ya que las probabilidades siempre deben sumar 1, tenemos:


Imagen


Para la mecánica cuántica, necesitamos una ecuación para el comportamiento de esta fusión de onda que se escribe con la ecuación de Schrödinger. El espacio de estado en en el que se presentan las distintas Imagen se conoce como espacio Hilbert, una especie de espacio vectorial en el que los estados están representados por “rayos” (básicamente, vectores sin cierta redundancia). Esto tiene las propiedades apropiadas para representar las características de ondas observadas en los sistemas cuánticos.