La Integral

Técnica y Método

11. El concepto de área


Tenemos una idea intuitiva del área. Es una medida que nos dice sobre el tamaño de una

región que es "La parte de un plano" encerrado por una curva cerrada.

Desde la época de los antiguos griegos, los matemáticos han intentado calcular áreas de regiones planas.

La región más básica es el plano ¿Es el rectángulo cuya área es el producto: base por altura ?

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Los antiguos griegos utilizaron la geometría euclidiana para calcular las áreas de paralelogramos y triangulos.

También sabían cómo calcular el área de cualquier polígono dividiéndolo en Triángulos a los planos. Sabemos que el área de un triángulo viene dada por Imagen.

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Aquí definimos el área de una región de un plano, donde la región está limitada por una curva.

Para ello, debe entender que el área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas detriángulos en la que se descompone, y se puede demostrar que el área así obtenida es i ndependiente de como se descompone el polígono en triángulos.


Cuando consideramos una región con un límite curvo, el problema de asignar el área es más difícil, fue Arquímedes (alrededor de 287-212 aC), quien proporcionó la clave para una solución por ingenioso uso del "método de agotamiento". Con este método, he encontrado el área de regiones complejas, mediante la inscripción de polígonos más grandes y más grandes de área conocida en tal región de modo que eventualmente sería "agotado".


Los polígonos circunscritos. Es el historico que da origen a la definición moderna de área derivida de Archimedes.

El método de agotamiento es un tributo a su genio.


Aquí, utilizaremos el problema del área calculada para motivar la definición que llamaremos integral definida de una función continua. Entonces, usaremos la integral definida para calcular el área de una región.

Finalmente, el teorema fundamental del cálculo integral proporcionar un método simple de calcular muchas integrales definidas, en términos de números que pueden representar varias cantidades.


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Consideremos ahora una región en el plano como se muestra en seguida. Está limitado por el

eje x, las líneas X=a y x=b, y

la curva que tiene la ecuación y=f(x), donde f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b].


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Podemos definir una región poligonal contenida en R. Para este propósito, inscribimos rectángulos

en la región R, como se muestra en figura de arriba. Entonces la suma de las áreas de los

rectángulos es menor que el área de R.

O la suma de las areas es mayor para rectangulos como los sigueintes.



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Una observación crucial para hacer sobre este proceso es que a medida que las bases de los rectángulos

se hacen más pequeños y más pequeños, la suma de las áreas de los rectángulos parece acercarse al área

exacta de R. Esto sugiere que el área de R debe definirse como el límite Imagen que tienden a cero,

de la suma de las áreas de rectángulos inscritos o circunscritos. Nuestra definición de área

e basará en esta idea.Imagen es la base del rectangulo y las halturas h=f(x). Nuestra afirmación hasta ahora

sobre el área de R se ha apoyado en las siguientes tres propiedades básicas que esperamos que

el área posea:


(1) Las propiedades rectángulo: El área de un rectángulo es el producto de su base y altura

(esta propiedad se trata como la definición de área de un rectángulo).

(2) Las propiedades de la adición: El área de una región compuesta de varias regiones

más pequeñas que se superponen en un segmento de línea como máximo es la suma de las áreas de

la menor regiones.

(3) La propiedad de comparación: El área de una región que contiene una segunda

región es al menos tan grande como el área de la segunda región.

Es importante entender dónde se empleó cada una de estas propiedades en la discusión anterior.

Ellas jugarán un papel importante en la definición del área a ser discutida.


Considere una función y=f(x) que es continua y positiva en un intervalo cerrado [a, b].

Pensamos en la función representada por una curva y consideramos el área de la región

que está limitada por la curva, a los lados por las rectas x=a y x=b y por debajo por la

porción del eje x entre los puntos a y b.


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Que haya un significado definido al hablar del área de esta región es una suposición inspirada

por la intuición.

Denotamos el área de esta región por Imageny la llamamos la integral definida de la función f(x) entre

los límites a y b.

Cuando en realidad buscamos asignar un valor numérico a esta área, encontramos que, en general,

no podemos medir áreas de tales regiones con límites curvos. Sin embargo, hay una salida.

Adoptamos un método (basado en el método de agotamiento de Arquímedes), que como

vemos se aplica a regiones más complejas. El método implica la suma de las áreas de

rectángulos infinitesimales por debajo de cada punto de la curva, curva formada por

puntos que pertenecen a un lado de un polígono regular de n número de lados: círculo.

Definición: Sea f constante y no negativo en [a, b], y sea R la región limitada por la

gráfica de f, por debajo del eje x de izquierda a derecha por las líneas x=a y x=b.

Entonces, llamamos a R la región entre la gráfica de f y el eje x en [a, b], y el área de R se define por


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Si f está limitada en [a, b] y si es continua allí en un número finito de puntos, entonces f es

integrable en [a, b].


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