La Integral

Técnica y Método

 

Ejercicios resueltos de técnicas de integración




1.-Imagen


Solución:


Para la función Imagen, sustituimos Imagen, y Imagen


Imagen


para la integral Imagen, la dividamos:

Imagen

Las integral la resolvemos como sumas de integrales:

Imagen

Para la integral Imagen, substituimos s=u+9 y ds=du:

Imagen

Integramos Imagen como log(s):


Imagen

La integral de la contante:

Imagen

Sustituimos para s=u+9:

Imagen

Substituimos para Imagen:

Imagen


Por tanto la solución es:


Imagen



2.Imagen


Solución:


Para la integral Imagen, subtituimos Imagen, y Imagen:

Imagen

Pala integral de Imagen, es Imagen:

Imagen

Sustituyendo Imagen, por tanto la solución es:


Imagen


3.Imagen

Solución:


Para la función Imagen, subtituimos u=x+1 y du=dx:

Imagen

Para integrar Imagen, substituimos Imagen, y Imagen:

Imagen

Para integrar Imagen, se hara por partes, Imagen, por tanto:

Imagen

Imagen

Integrando Imagen:

 Imagen

Sustituyendo Imagen:

Imagen


Sustituyendo u=x+1:

Imagen


por tanto la solución es:


Imagen


  

 Imagen


Sustituyendo

 Imagen

 Entonces 

Imagen


Multiplicando numerador y denominador de sec(u) por tan(u) +sec(u)

Imagen


Entonces

 Imagen

 ahora sustituyendo s 

Imagen


tenemos sustituyendo u tenemos

Imagen


Imagen


Sustituyendo  

Imagen


entonces tenemos  

Imagen

escribiendo  

Imagen

entonces 

Imagen

integrando la suma termino a termino 

Imagen


sustituyendo en la primer integral 

Imagen

entonces 

Imagen


sustituyendo (s) y (u) 

Imagen


Imagen


Haciendo división larga 

Imagen


Sacando el factor 4 desde el denominador

Imagen


Para la segunda integral sustituir

Imagen

 Entonces

Imagen

Integrando 

Imagen


Imagen


Al separar la fracción 

Imagen

Integrando 

Imagen


Imagen


Usando fracciones parciales 

Imagen


Integrando la suma termino a término y sacando factores

Imagen


Para la primer integral sustituir 

Imagen


y para la tercera integral sustituir 

Imagen

Imagen


 ahora integrando 

Imagen

Sustituyendo (u) y (s) 

Imagen


Imagen


Separando la fracción y sacando los factores

Imagen


Para la primer integral sustituir

Imagen


y sacando el factor 4 de la segunda integral



Imagen

Entonces  sustituir para la segunda integral 

Imagen

Obtenemos

Imagen 

Integrando

Imagen

Sustituyendo (u) y (s) 

Imagen


Imagen


Sustituyendo 

Imagen

Entonces

Imagen

factorizando el denominador 

Imagen


haciendo división larga 

Imagen


integrando a la suma termino a termino 

Imagen


reescribiendo 

Imagen


Entonces

Imagen


integrando a la suma termino a término y sacando factores 


Imagen


para la primer integral sustituir 

Imagen

entonces

Imagen


Para la segunda integral completar el cuadrado 

Imagen

Sustituir 

Imagen

 entonces 

Imagen

Sacando el factor 27/4 del denominador 

Imagen

Sacando los factores constantes 

Imagen

Sustituyendo 

Imagen

Entonces

Imagen

integrando 

Imagen

para la tercer integral sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

integrando lo restante+C

Imagen

sustituyendo (u), (v), (w), (p)

Imagen

Imagen



Sustituir 

Imagen

 Entonces

Imagen


integrando   


Imagen

 sustituyendo (u)


Imagen


Imagen



Integrando por partes donde

Imagen


Entonces

Imagen


Nuevamente integrando por partes donde

Imagen

Entonces

Imagen


Imagen


Integrando por partes donde

Imagen

   entonces    

Imagen

Para la integral sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

Escribir ImagencomoImagenentonces 

Imagen

Integrando la suma parte por parte

Imagen

integrando 

Imagen

sustituyendo (u) donde 

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Expandiendo la integral multiplicando tenemos

Imagen

Integrando la suma termino a término y sacando factores constantes 

Imagen

Integrando

Imagen


Imagen

Usando fracciones parciales tenemos 

Imagen

Integrando la suma termino a termino

Imagen 

Integrando usando cambio de variable 

Imagen


Imagen


Integrando por partes donde

Imagen

Entonces    

Imagen       

Haciendo división larga se tiene

Imagen

Sacando el factor 4 del denominador   

Imagen  

Sustituir 

Imagen 

entonces     

Imagen 

integrando 

Imagen

sustituyendo (u)

Imagen


Imagen


Sustituir 

Imagen

Entonces

Imagen

 sustituyendo (u)

Imagen





Imagen



Usando fracciones parciales tenemos:

 Imagen

Sacando constantes integrando termino a termino 

Imagen

Para las ultimas 2 integrales usar el cambio de variable donde 

Imagen

obteniendo

Imagen

integrando 

Imagen

sustituyendo (u)

Imagen

Imagen

Completando el cuadrado 

Imagen

Sustituir  

Imagen

 entonces 

Imagen

Sustituir   Imagen

 entonces 

Imagen

Sustituyendo (u) y (s) tenemos 

Imagen


Imagen


Cancelando términos comunes en numerador y denominador 

Imagen


Usando fracciones parciales tenemos:

Imagen

Integrando la suma termino a termino y sacando factores constantes 

Imagen

Para las primeras dos integrales usar el cambio de variable donde 

Imagen

 y para la ultima integral utilizar el cambio de variable donde   

Imagen

 Entonces

Imagen

 integrando 

Imagen

Sustituyendo (s) y (u) 

simplificando 

Imagen


Imagen


Imagen


Escribir      

Imagen

 entonces 

Imagen

Integrando 

Imagen


Imagen

Usando la identidad 

Imagen

entonces 

Imagen

sustituir   

Imagen

 entonces 

Imagen

Sustituir

Imagen

 entonces 

Imagen

sustituyendo (s) y (u) 

Imagen


Imagen

Usar la identidad trigonométrica  

Imagen

entonces 

Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Sustituyendo (u) 


Imagen


Imagen


Tomar la integral  

Imagen

luego integrar por partes 

Donde  

Imagen

entonces 

Imagen 

Multiplicar denominador y numerador de la integral por 

   Imagen

Entonces   

Imagen

  Sustituir

Imagen

Integrar 

Imagen

Sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen


Integrar por partes donde

Imagen


Entonces  

Imagen


Imagen

Sustituir  

Imagen

 entonces    

Imagen

Sustituyendo (u)    

Imagen


Imagen


Usar la identidad trigonométrica  

Imagen

  Entonces

Imagen

Sustituir  

Imagen

Entonces  

Imagen  

Integrando  

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen


Tomar la integral 

Imagen

usar la identidad trigonométrica

Imagen

Entonces

 Imagen

Reescribir la primera integral en términos de seno y coseno

Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Para la segunda integral multiplicar denominador y numerador por 

Imagen

Entonces

Imagen

sustituir 

Imagen

entonces 

sustituyendo (u) y (s)

Imagen


Imagen

Sustituir Imagenentonces    

Imagen

 Sustituir

Imagen


Entonces  

Imagen

sustituyendo (s) y (u) 

Imagen


Imagen


Expandiendo la integral tenemos 

Imagen

para la primera integral 

Hacer por partes donde  

Imagen

entonces 

Imagen

Las dos integrales restantes son iguales pero de diferente signo por lo

tanto se cancelan

Dando como resultado 

Imagen


Imagen


Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Usando la fórmula de reducción resulta 

Imagen

ahora reescribimos la cot en términos de sen y cos entonces 

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces 

Imagen

Sustituyendo (s) y (u) 

Imagen



Imagen

Expandiendo la integral 

Imagen

Integrando

Imagen


Imagen




Cambiar todo a sen y cos 

Imagen

Sustituir 

Imagen

lo que nos produce un límite inferior 

Imagen

Y un nuevo límite superior 

Imagen

Entonces

Imagen

Multiplicamos el orden de los limites de integración ya que el inferior es

mayor que el superior, entonces multiplicamos por -1 , 

Tenemos

Imagen

Integrando

Imagen


Imagen

No aparece con pasos intermedios  así que la solución a la integral indefinida es

Imagen

 y el resultado a la integral definida es: 

Imagen

Imagen

Sustituir 

Imagen

 luego transformamos la integral usando las sustituciones  

Imagen

Entonces 

Imagen

Simplificando

Imagen

Cancelando términos comunes 

Imagen

usando fracciones parciales

Imagen

Integrando 

Imagen

 sustituyendo (u) 

Imagen





Imagen


Aplicando fracciones parciales 

Imagen

Realizar el cambio de variable simple para cada integral y evaluar los nuevos limites donde

Imagen

 entonces 

Imagen


Integrando 

Imagen

Imagen

Aplicando fracciones parciales 

Imagen

Realizar el cambio de variable simple para cada integral y evaluar los nuevos limites donde

Imagen

 entonces 

Imagen

Integrando 

Imagen



Imagen


Sustituir  

Imagen

Entonces

Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Haciendo división larga 

Imagen

Hacer cambio de variable simple para integrar entonces

Imagen

Regresando a términos de x

Imagen

Evaluando los limites da Imagen

Imagen

Hacer por partes donde 

Imagen

Entonces 

Imagen

Nuevamente integramos por partes donde

Imagen

entonces 

Imagen

la integral restante es idéntica a la original entonces las pasamos al mismo lado 

Imagen

finalmente despejando

Imagen


Imagen

Sustituir  

Imagen

Entonces

Imagen

integrando:

Imagen

 sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen


Sustituir 

Imagen

Entonces 

Imagen

para resolver esta integral usar la formula

Imagen

En este caso los coeficientes de u son 1 entonces sustituyendo (u)

Imagen



Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Integrar por partes donde

Imagen

entonces 

  Imagen

Integrando: 

Imagen


Imagen


Sustituyendo 

Imagen

Entonces

Imagen

Integrando por partes donde: 

Imagen

Entonces    

Imagen

 sustituyendo (u)

Imagen





Imagen



Sustituyendo 

Imagen

entonces s

Imagen

ustituyendo (u) 

Imagen


Imagen

Usando la identidad trigonométrica donde 

Imagen

entonces 

Imagen

sustituir 

Imagen

entonces   

Imagen

integrando: 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen






Imagen


Escribir

Imagen

y     

Imagen

Entonces  

Imagen

Sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

sustituyendo (u)

Imagen

Imagen

Completando el cuadrado

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces

Imagen

hacer el cambio trigonométrico 

Imagen

entonces 

Imagen

usando la fórmula de reducción para la secante obtenemos

Imagen

 integrando la ultima integral 

Imagen

Sustituyendo (s) y (u)  

Imagen

Imagen

Completar el cuadrado 

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces 

Imagen

realizar el cambio trigonométrico  

Imagen

entonces

Imagen

Integrando: 

Imagen

sustituyendo (s) 

Imagen


Imagen

Usar la identidad trigonométrica

  Imagen

entonces 

Imagen

sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

integrando: 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen


Sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

usando la fórmula de reducción para el coseno: 

Imagen


para la integral restante escribir

Imagen

entonces

Imagen

expandiendo la integral

Imagen

 haciendo un cambio de variable 

Donde  

Imagen

  entonces 

Imagen

Integrando:  

Imagen

sustituyendo (u)   y   (s)

Imagen

Imagen

Sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

haciendo división larga 

Imagen

 integrar y para la integral fraccionaria sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Sustituyendo (u) y (s) 

Imagen


Imagen

no muestra pasos intermedios 


Imagen


Aplicando fracciones parciales 

Imagen

Para la primer integral hacer el cambio  

Imagen

entonces 

Imagen

para la segunda integral nos da igual a 

Imagen

entonces  

Imagen

ahora hacemos el cambio de variable 

Imagen

entonces 

Imagen

integrando 

Imagen

ustituyendo(u) y (s) 

Imagen


Imagen

Sustituir  

Imagen

Entonces

Imagen

usar la identidad trigonométrica 

Imagen

Entonces 

Imagen

Multiplicar la primera integral por tan u +sec u (numerador y denominador)

Imagen

Sustituir

Imagen

Entonces

Imagen

integrando   

Imagen

sustituyendo  (u) y (s)

Imagen


Imagen


Usar la identidad trigonometrica 

Imagen

Entonces

Imagen

para la primer integral integrar por partes donde 

Imagen

entonces 

Imagen

sustituir 

Imagen

entonces  

Imagen

 integrando 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen



Expandiendo la integral 

Imagen

 hacer por partes donde 

Imagen

entonces 

Imagen

integrando por partes donde

Imagen

entonces 

Imagen

integrando 

Imagen




Imagen

Reescribir la integral como 

Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Integrando por partes donde: 

Imagen

entonces

Imagen


Integrando

Imagen

 sustituyendo  (u) 

Imagen


Imagen

Sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

usando la identidad trigonometrica 

Imagen

tenemos 

Imagen

Integrando 

Imagen

 sustituyendo (u)

Imagen


Imagen  

Sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

Integrando   

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen

entonces el resultado es 


Imagen


Imagen

Sustituir  

Imagen

luego transformar la integral usando las 

sustituciones 

Imagen

Entonces

Imagen

simplificando 

Imagen

completando el cuadrado 

Imagen

 sustituir 

Imagen

Entonces

Imagen

sacando el factor fuera del denominador 

Imagen

sustituir 

Imagen

 entonces  

Imagen

integrando 

Imagen

regresando a términos de (x) 

Imagen

obteniendo como resultado

Imagen


Imagen


Integrando por Partes donde:  

Imagen

Entonces

Imagen

Sustituir 

Imagen

entonces  

Imagen

Integrando 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen

solución no disponible en wólfram

Imagen


Imagen

Sustituir 

Imagen

entonces  

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces 

Imagen

sacando el factor -1 del denominador  

Imagen

Integrando 

Imagen

regresando a términos de x 

Imagen

lo que da como resultado 

Imagen

Imagen

Rescribir la integral como: 

Imagen

Sustituir para la primera integral 

Imagen

entonces  

Imagen

para la segunda integral completar el cuadrado 

Imagen

sustituir 

Imagen

 entonces 

Imagen

integrando  

Imagen

sustituyendo (u) y (s) 

Imagen


Imagen

Tomar la integral 

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces

Imagen


 usar la identidad trigonométrica   

Imagen

Entonces

Imagen

 sustituir  

Imagen

Entonces

Imagen

 Expandiendo

Imagen

integrando

Imagen

regresando a términos originales 

Imagen


Imagen

Sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

usar la identidad trigonométrica 

Imagen

 Entonces

Imagen

 sustituir 

Imagen

entonces 

Imagen

Integrando  

Imagen

regresando a términos originales 

Imagen

entonces esto da como resultado

Imagen


Imagen

Tomar la integral 

Imagen

Pasar a sen y cos la primer integral 

Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

Integrando 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen


Tomando en cuenta la identidad  

Imagen

Sustituir 

Imagen

 entonces 

Imagen

Integrando 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


 



Imagen

Expandiendo la integral tenemos 

Imagen

La primer integral la hacemos por partes donde 

Imagen

Entonces 

Imagen

Haciendo la segunda integral por partes donde 

Imagen

Entonces

Imagen

 finalmente 

Imagen


Imagen

Usando la identidad trigonométrica  

Imagen

Entonces

Imagen

Expandiendo la integral tenemos 

Imagen

 integrando por partes donde

Imagen


 entonces 

Imagen

sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

integrando 

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen

Tomar la integral   

Imagen

   sustituir  

Imagen

  entonces 

Imagen

Integrando 

Imagen

sustituyendo  

Imagen

Imagen

Racionalizando la integral 

Imagen

Entonces  

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces  

Imagen

integrando  

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen


Imagen

Usando la identidad trigonométrica 

Imagen

Entonces 

Imagen

Sustituir

Imagen

 entonces  

Imagen

Integrando

Imagen

 sustituyendo (u) 

Imagen





Imagen

 

Sustituir

Imagen

 entonces 

Imagen

sustituir 

Imagen

Entonces 

Imagen

usando fracciones parciales  

Imagen



Expandiendo la integral 

Imagen

 sustituir   

Imagen

entonces 

Imagen

 Integrando

Imagen

 regresando a términos de (t)

Imagen

 simplificando 

Imagen



Imagen


Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

integrando 

Imagen

Sustituyendo  (u)   

Imagen


Imagen


Imagen

Sustituir  

Imagen

entonces 

Imagen

integrando por partes 

Imagen

 entonces  

Imagen

sustituyendo (u) 

Imagen




Imagen

Integrar por partes donde

 Imagen

entonces 

Imagen

Sustituyendo

Imagen

entonces 

Imagen

 Integrando

Imagen

sustituyendo  (u)  

Imagen