La Integral

Técnica y Método

 

1.3 La integral


El proceso de integración representa la operación inversa al proceso de derivación de funciones.

Esto quiere decir, que si se tiene una función dada Imagen la integración permite obtener otra función 

Imagen tal que al derivarla se recupera   Imagen, es decir:


Si  Imagen  entonces se tiene   Imagen


El símbolo que se utiliza para representar el proceso de integración, es una “s” alargada ∫, a la

función Imagen, se le denomina integrando y Imagen nos indica la variable de integración, en este caso, Imagen.


Supóngase que se tiene la función  Imagen ; al integrar esta función se obtiene otra función

Imagen  de manera que si se deriva se recupera la función inicial.


Imagen .


Así mismo, si se tiene la función Imagen, al integrar se obtiene la función  Imagen, de

acuerdo con las reglas de derivación, se ve que al derivar recuperamos la función original

Imagen


Estos ejemplos manifiestan el carácter inverso que se da entre los procesos de derivación e

integración de funciones.


A la función Imagen se le conoce como primitiva deImagen .


Se hace la observación de que la primitiva de una función no es única, es decir, para la función dada,

 

existe una infinidad de primitivas que difieren en una constante[1].


Las siguientes funciones son también primitivas de la función   Imagen :


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Al derivar cada una de ellas, se recupera la función original.


Imagen


Al conjunto de todas las primitivas de una función dada Imagen se le denomina integral indefinida

de Imagen, lo cual se escribe18,19:


Imagen


Donde Imagen es una constante cualquiera y recibe el nombre de constante de integración.


Geométricamente la integral indefinida representa una familia de gráficas, las cuales se

encuentran desplazadas paralelamente a una gráfica, en sentido positivo o negativo en el eje Y.


El valor particular de la constante de integración Imagen, define una curva particular de la familia de primitivas.


Imagen


Se ha comentado que algunas primitivas de la función Imagen, son:

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


La figura muestra la gráfica de estas funciones, son parábolas desplazadas en el eje Y.






[1] Larson R. et.al. (2010). Cálculo Esencial. México: Cengage Learning