La Integral

Técnica y Método

1.4 Integración inmediata


Leibniz introdujo la convención de escribir la diferencial de una función después de la integral, la ventaja de utilizar el diferencial de esta manera será evidente para el lector más tarde, cuando calculamos primitivas por el método de sustitución que se estudiará más adelante. Debido a ciertas dificultades prácticas, no es posible formular un conjunto de reglas por las cuales cualquier función puede ser integrado. Sin embargo, ciertos métodos se han ideado para integra ciertos

tipos de funciones.


Los métodos de integración, en general, consisten en ciertas operaciones matemáticas aplicada a el

integrando de manera que asume una cierta forma (s) conocido de que las integrales son

conocidos. Siempre que es posible expresar el integrando en cualquiera de las formas conocidas

(que llamamos formas estándar), la solución final se convierte en una cuestión de reconocimiento e

inspección.

Partiendo del carácter inverso de la integración respecto a la derivación, contamos con una serie

 

básica de fórmulas, que permiten obtener la integral de diferentes funciones[1].


Tabla 1.2. Fórmulas de integración 


1. Imagen    donde Imagen es una constante

2. Imagen


3. Imagen


4. Imagen


5. Imagen


6. Imagen


7. Imagen


8. Imagen


9. Imagen


10. Imagen


11. Imagen


12. Imagen

13. Imagen


14. Imagen


15. Imagen


16. Imagen


17. Imagen


18. Imagen


19. Imagen


20. Imagen


21. Imagen


22. Imagen


23. Imagen


24. Imagen

25. Imagen


A continuación se muestran algunos ejemplos, donde se aplican estas fórmulas.


Hacemos dos comentarios acerca de la fórmula mencionada en la Tabla 1.2


Se pretende incluir el caso cuando n=0, es decir,


Imagen


Puesto que no se especifica ningún intervalo, la conclusión se entiende que es válida para cualquier

intervalo en el que se define Imagen. En particular, si n<0, hay que excluir cualquier intervalo que contenga

el origen.


En vista de lo anterior, la derivada de también Imagendebe ser considerada sólo para los valores

positivos de x. Además, cuando escribimos Imagen, hay que recordar que en esta igualdad

la función 1/x se ha de considerar solamente para los valores positivos de x.


Hay algunos teoremas de diferenciación que tienen sus homólogos en la integración,

son los teoremas que establecen las propiedades de "integrales indefinidas" y se puede

probar fácilmente usando la definición de primitiva. Casi cada teorema se demostró con

la ayuda de la diferenciación, subrayando así el concepto de diferenciación. Para integrar

una función dada, necesitaremos estos teoremas de integración, además de las fórmulas. 


En palabras, "una integral de la suma de dos funciones, es igual a la suma de las integrales

de estas dos funciones ". La regla anterior se puede extender a la suma de un número

finito de funciones. El resultado también es válido, si la suma es reemplazada por la diferencia.

Por lo tanto la integración se puede extender a la suma o diferencia de un número finito de funciones.


Imagen


 Imagen donde c es un número real.



Imagen



1. Imagen


Aplicando (5)

Imagen


2. Imagen


Aplicando (5)

Imagen


3. Imagen


Aplicando (5)

Imagen


4. Imagen

Aplicando (5)

Imagen


5. Imagen


Expresar el radical en forma de exponente fraccionario y aplicar (5)

Imagen


6. Imagen


Aplicando (2) y (5)

Imagen


7. Imagen


Como el exponte es -1, aplicar (6)

Imagen


8. Imagen


Aplicando (2) y (5) y expresar el radical como exponente fraccionario

Imagen


Imagen


9. Imagen


Expresar la variable como numerador y aplicar (2) y (5)

Imagen


A partir de los siguientes ejercicios, la constante de integración se indicará hasta el resultado final.


10. Imagen


Primeramente aplicar (3)  

Imagen

Después se procede a aplicar (2), (5) y en la última integral (4)


Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Obteniendo el resultado:

Imagen



11. Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Por lo tanto:


Imagen


Es importante hacer la observación que al utilizar las fórmulas descritas anteriormente, se

debe tener completa la diferencial de la variable.




[1] Granville W.A (1982). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa.