La Integral

Técnica y Método

1.5. Integración mediante cambio de variable

 

 


Existen integrales que pueden resolverse realizando un cambio de variable. Se obtiene la

diferencial de la variable, después se hace un despeje de la diferencial y se sustituye en la

integral para expresarla en términos de la nueva variable.


Lo anterior se podrá simplificar utilizando las fórmulas:


5. Imagen


6. Imagen


Veamos algunos ejemplos para mostrar este método.



Cambio de variable 

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

14)

Imagen

Imagen

Imagen


Laboratorio virtual división larga de polinomios: http://library.wolfram.com/webMathematica/Education/LongDivide.jsp 

16) Imagen


Sea   Imagen    nuestro cambio de variable


Su diferencial es   Imagen  

Como la diferencial de la integral es Imagen, despejamos:   Imagen 

 

Expresando la integral en términos de la nueva variable:


Imagen


Aplicando (2) y (5)


Imagen


Regresando el cambio de variable de  Imagen 


Imagen


El resultado es:


Imagen


17) Imagen


Considere Imagen, entonces  Imagen  en la integral aparece Imagen, despejando en

la diferencial de la nueva variable se tiene:

Imagen

haciendo las sustituciones correspondientes para expresar la integral en términos de Imagen:


Imagen


Aplicando (6)


Imagen


Por lo tanto:


Imagen


18) Imagen


Como la diferencial está completa, aplicar (7)


Imagen


19) Imagen


Sea Imagen , así Imagen , por tanto Imagen 

Sustituyendo y aplicando (7)

Imagen

Finalmente:

Imagen


20)  Imagen


Sea Imagen  y Imagen, despejando Imagen , y aplicando (8)


Imagen

 

obteniendo así :


Imagen

21)  Imagen

Sea Imagen , y Imagen , despejando Imagen  y aplicando (9)

Imagen

 

Por lo tanto:

Imagen


22)  Imagen


Sea Imagen, Imagen  despejando  Imagen, aplicando (10)


Imagen


se obtiene:

Imagen


23) Imagen


Sea Imagen, Imagen aplicando (11)


Imagen

Finalmente:

Imagen


24)  Imagen


Sea Imagen ,   Imagen     Imagen    aplicando (15)


Imagen


Por lo tanto:


Imagen


25) Imagen


Sea Imagen, Imagen   Imagen     aplicando (16)


Imagen


Por lo tanto:


Imagen



26) Imagen

Esta integral puede también ser escrita como Imagen

Sea Imagen, Imagen    Imagen       aplicando (17)


Imagen


Por lo tanto:

Imagen


27) Imagen


En este caso conviene desarrollar el binomio y aplicar identidades trigonométricas.

Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen

Imagen


Aplicando (11) y (12)

Imagen

Finalmente:

Imagen



28) Imagen


Se observa que para esta integral se puede aplicar (19), para esto:

Imagen

Imagen


Imagen


29) Imagen


Al igual que en el ejemplo anterior y aplicando (19)


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


30) Imagen


Aplicar (20), tomando en cuenta que:


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


31) Imagen


Aplicar (21) y considerar que:


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


32) Imagen


Aplicar (22) teniendo que:

Imagen


Imagen

Imagen


Imagen



33) Imagen


Aplicar (23), y haciendo:

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


34) Imagen


Aplicar (24) y haciendo:

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


ImagenFinalmente:

Imagen