La Integral

Técnica y Método

 

1.7 Integración con diferenciales trigonométricas


Cuando una integral de funciones  trigonométricas no puede resolverse con las fórmulas

inmediatas correspondientes, se hace uso de identidades trigonométricas para completar

su diferencial. El principal problema que radica en la evaluación de las integrales es  

convertir el integrando a alguna forma estándar. Cuando integrando implica funciones

trigonométricas, a veces es posible convertir el integrando en una forma estándar, mediante

la aplicación de operaciones algebraicas y/o identidades trigonométricas. Obviamente, en

estos casos, el integrando se puede cambiar a una forma estándar, sin cambiar la variable de

integración. Una vez hecho esto, podemos fácilmente escribir el resultado final utilizando las

fórmulas estándar.

Imagen

Ejemplo 1:

 Imagen

Solución:

No es posible por fórmulas estándar (inmediatas). 

Nosotros consideramos:

Imagen

Imagen


Ejemplo 2:

Imagen

Solución:

Imagen

Imagen

De manera similar 

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen




Imagen

Imagen


Ejemplos:


Imagen



Imagen


Imagen



Imagen





Imagen



Imagen


Imagen

Imagen

42.

Imagen

Imagen

Ejemplo 3:

Imagen

Solución:

Imagen



Ejemplo 4:

Imagen

Solución:

Considere a

 Imagen

Imagen



Imagen

Note que:

Imagen

Ejemplo 5:

Imagen

Solución:


Imagen

Imagen

Ejemplo 6:

Imagen

Solución:

Imagen

Imagen

Ejemplo 7:

Imagen

Solución:

Imagen

Imagen

Imagen

Ejemplo 8:

Imagen

Solución:

Imagen

Imagen

Imagen

Ejemplo 9:

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Ejemplo 10:

Imagen

Solución:

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen                                                    Imagen

Ejemplo 11:

Imagen

Solución:

Imagen

Imagen



I. Integrales de la forma:


Imagen


Este tipo de integrales se descompone en potencias par y quedará una potencia lineal que

servirá como diferencial. Aplicar las identidades:


Imagen


1. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen

Finalmente:

Imagen


2. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Finalmente:

Imagen


3. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen


Imagen

Finalmente:

Imagen



4. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Finalmente:

Imagen



5. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Finalmente:

Imagen



II. Integrales de la forma:


Imagen


Para estas integrales, se descompone el integrando en potencias par, con la finalidad de

sustituirlas por las siguientes identidades trigonométricas:


Imagen


Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.


6. Imagen


Imagen

Así que


Imagen


7. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen


Imagen


Imagen



8. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Por lo tanto:

Imagen



9. Imagen



Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen


Imagen


Por lo tanto:

Imagen


10. Imagen

Dado que 

Imagen


Imagen


Ahora

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen




III. Integrales de la forma


Imagen


Para resolver este tipo de integrales basta con descomponer el integrando en potencias

pares para luego aplicar las identidades trigonométricas:


Imagen


11. Imagen


Aplicando fórmula inmediata (11)


Imagen


12. Imagen


Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


13. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen




Imagen


IV. Integrales de la forma:


Imagen


Cuando se tiene este producto de funciones, se pueden integrar aplicando las

identidades, del caso III, cuando Imagen es par:

Imagen

Cuando Imagen es impar, buscar que se tengan diferenciales de la forma


Imagen

14. Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen



15. Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


16. Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


17. Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen



18. Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen

Imagen


Imagen


Imagen

Imagen



V. Integrales de la forma:


Imagen


En este tipo de integrales, aplicar las identidades trigonométricas de ángulo doble:


Imagen



19. Imagen



Imagen


Imagen


Imagen


Imagen



Imagen


20. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen



21. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen


Imagen



Imagen






22. Imagen  



Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


VI. Integrales de la forma:


Imagen


Cuando el integrando se compone de estos productos, aplicar las siguientes

identidades trigonométricas:


Imagen

Imagen

Imagen



23. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Por lo tanto:

Imagen


24. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Por lo tanto:

Imagen


25. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Por lo tanto:

Imagen