La Integral

Técnica y Método

 

1.8. Integración por partes


Este método es útil cuando se tiene el producto de dos funciones. La fórmula para

integración por partes es:

Imagen


Esta fórmula se deduce de la diferencial del producto de dos funciones.


Imagen


Despejando Imagen


Imagen


Al integra la expresión, se obtiene dicha fórmula.


Esta fórmula permite expresar la integral original en términos de otra más fácil de integrar,

dependiendo de la manera en que se seleccione Imagen. Dado que es fundamental escoger

estas partes de la integral original, se sugiere para su elección:


a) Determinar la parte del integrando Imagen tal que al derivarla resulte una función más sencilla que Imagen.

El resto del integrando se tomará como Imagen.


b) Determinar como Imagen la parte del integrando que sea más complicada y que se pueda integrar,

así el resto del integrando se tomará como Imagen.


Para los siguientes casos se utiliza esta técnica de integración por partes:


(Algebraicas) por (trigonométricas)

(Algebraicas) por (exponenciales)

(Algebraicas) por (logarítmicas)

(Exponenciales) por (trigonométricas)

Logarítmicas

Trigonométricas inversas

(Algebraicas) por (trigonométricas inversas)


Veamos algunos ejemplos:


1. Imagen


Imagen

Imagen

Sustituyendo en la fórmula

Imagen


Por lo tanto:


Imagen



2. Imagen


Imagen

Imagen

Sustituyendo en la fórmula


Imagen

Por lo tanto:

Imagen




3. Imagen


Imagen

Imagen

Aplicando la fórmula

Imagen

Por lo tanto:

Imagen



4. Imagen


Imagen


Imagen

Aplicando fórmula

Imagen

Por lo tanto:

Imagen



5. Imagen


Imagen

Imagen

Aplicando fórmula

Imagen

Ahora aplicar un cambio de variable para la nueva integral


Imagen


Imagen


Así: 

Imagen



6. Imagen


Imagen

Imagen


Aplicando la fórmula

Imagen


Obtengamos la nueva integral, para ello, se realiza la división:


Imagen


Imagen

Por lo tanto:

Imagen


7. Imagen


Imagen

Imagen

Así:

Imagen

La nueva integral tiene que resolverse nuevamente por partes, así que:


Imagen

Imagen

Por lo que

Imagen

Sustituyendo

Imagen


Imagen

Despejando Imagense obtiene que:


Imagen


Imagen

Finalmente:

Imagen


8. Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


9. Imagen


Primeramente se descompone la integral de la siguiente manera:


Imagen


Imagen

Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Finalmente:

Imagen


10. Imagen


Descomponer la integral de la siguiente manera:


Imagen


Imagen

Imagen

Para obtener Imagen la integral se resuelve haciendo un cambio de variable:

Imagen

Imagen

Sustituyendo en la fórmula

Imagen

Imagen

Esta última integral se resuelve aplicando nuevamente cambio de variable

Imagen

Imagen

Finalmente:

Imagen