La Integral

Técnica y Método

 

 

1.9. Integración por fracciones parciales


Este método se aplica cuando la integral se hace respecto a una función racional:


Imagen

Donde Imagen representan polinomios, de manera tal que Imagen tiene grado menor que Imagen.


En este método de integración se presentan varios casos.


Caso I. El denominador tiene únicamente factores de primer grado y no se repiten.


Esto permite que a cada factor le corresponda una fracción parcial como se indica:


Imagen


lo que implica que la constante Imagen debe determinarse.


1. Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


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Imagen


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Imagen

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2. Imagen


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Imagen

Imagen

Imagen


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Imagen


Imagen


Imagen

Finalmente:


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Caso II. El denominador tiene únicamente factores de primer grado y algunos se repiten.


En este caso si se tiene un factor de la forma:


Imagen


Se lleva a cabo una suma desarrollada de la siguiente forma:


Imagen


De manera que habrá que determinar todas las constantes: Imagen 


3. Imagen


Observando el denominador, se concluye que hay tres veces el mismo denominador:

Imagen


Entonces se debe desarrollar una suma como sigue:


Imagen


Imagen


Imagen



Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Se concluye que:


Imagen



4. Imagen


Al factorizar el denominador se observa que el factor Imagen, es repetible: 


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Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen



Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Por lo tanto:

Imagen


Caso III. El denominador tiene factores de segundo grado y ninguno se repite.


En este caso se considera que para un factor de la forma: Imagen se le asocie una

fracción con la forma:

Imagen


Así, en cada fracción será necesario determinar las constantes: Imagen


5. Imagen


Al factorizar el denominador del integrando tenemos:


Imagen


Lo que resulta en un factor lineal Imagen y en un factor cuadrático Imagen, el cual no se puede

factorizar nuevamente. Por lo tanto las fracciones parciales serán:


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Finalmente:

Imagen



6. Imagen


Se puede observar que el término cuadrático no se puede factorizar, por lo cual,

las fracciones parciales correspondientes serán:


Imagen


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Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

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Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Aplicar la fórmula (19)

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Imagen


Sustituyendo en el resultado parcial obtenido:

Imagen


Imagen


Finalmente el resultado es:


Imagen



Caso IV. El denominador tiene solo factores de segundo grado y algunos se repiten.


Cuando se tiene un factor cuadrático de la  forma.


Imagen


Las fracciones parciales se obtienen de una suma desarrollada de la forma:


Imagen


Teniendo que determinar las constantes: Imagen

7. Imagen


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Imagen

Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


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Imagen


Imagen

Imagen


Finalmente el resultado queda así:

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8. Imagen


Se observa que el término cuadrático es repetible, por lo que empleando fracciones

parciales, se tiene:


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Imagen


Imagen

Imagen


Imagen


Imagen


Imagen

Imagen

Imagen

Imagen


Imagen



Imagen


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Imagen


Imagen


Imagen


Imagen


Imagen



Imagen

Finalmente el resultado es:


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